Análise Estatística: quer trocar ou manter a porta?

Você já ouviu falar do jogo dos bodes?

Eu só posso assumir que o show de jogo de Monty Hall, Let's Make A Deal, tenha ocorrido em algum momento durante os anos sessenta ou setenta. As informações sobre este jogo, em particular, foram coletadas por mim na internet.  Como nasci em 1984 eu não assisti a este famoso jogo da TV americana, mas é a mesma configuração de um famoso jogo que ocorreu no Brasil também: “A Porta dos Desesperados”. Agora, presumo que você tenha configurado em sua mente sobre o modelo de jogo. Valeu Serginho Mallandro pela aula de análise estatística.

Eis a configuração básica para o jogo. Praticamente toda a audiência se vestia como caipiras, esperando que Monty Hall os selecionasse fora da multidão e oferecesse-lhes a chance de ganhar um prêmio fabuloso. Por exemplo, ele podia oferecer-lhe US$ 100 para cada clipe de papel que você tinha em sua posse ou dar-lhe US$ 500, mas depois perguntar se você gostaria de manter o dinheiro ou trocá-lo pelo que está em uma caixa particular. Claro que poderia haver US$ 1000 na caixa ou uma única lata de comida para cães. De qualquer forma, espero que você obtenha a essência básica do jogo.

O jogo particular com o qual estamos preocupados aqui é onde Monty Hall oferece a você a oportunidade de ganhar o que está por trás de uma das três portas. Normalmente, houve um prêmio muito bom (ou seja, um carro) atrás de uma das portas e um prêmio não muito bom (ou seja, uma cabra) atrás das outras duas. Depois de selecionar uma porta, Monty então abriria uma das portas que você não selecionou. É importante notar aqui que Monty não abriria a porta que ocultava o carro. Neste ponto, ele perguntaria se você queria mudar para a outra porta antes de revelar se você venceu.

Como a Análise Estatística encontrou o jogo dos bodes?

Em setembro de 1991, um leitor da coluna Marilyn Vos Savant's no jornal Sunday Parade escreveu e fez a seguinte pergunta:

"Suponha que você esteja em um show de jogo e você tenha a escolha de três portas: atrás de uma porta há um carro, atrás das outras, cabras. Você escolhe uma porta, diga n. ° 1, e o anfitrião, que sabe o que está por trás das outras portas, abre outra porta, diga a No. 3, que tem uma cabra. Ele então diz para você: 'Você quer escolher a porta No. 2?' Seria vantagem trocar a porta? "

Este problema recebeu o nome o Paradoxo The Monty Hall em homenagem ao anfitrião de longa data do programa de televisão "Vamos fazer um acordo". Artigos sobre a polêmica surgiram no New York Times (ver artigo original de 1991 e recurso interativo de 2008) sobre a controvérsia que apareceu no New York Times e outros artigos em todo o país. A resposta de Marilyn foi que o competidor deveria trocar de porta e recebeu cerca de 10.000 respostas dos leitores, a maioria deles discordando com ela. Vários eram de matemáticos e cientistas cujas respostas variaram de hostilidade a decepção com a falta de habilidades matemáticas do país.

Esta pergunta parece ter uma resposta não intuitiva, como muito do que tange a Análise Estatística. Por que tantas pessoas estavam convencidas de que Marilyn Vos Savant estava errada? Todos decidiram que não importava se o competidor mudasse ou não mudasse. Pode haver uma razão que muitos discordaram com ela. Omitir uma frase na declaração desse problema altera a resposta completamente e isso pode explicar por que muitas pessoas têm a intuição errada sobre a solução. Se o anfitrião (Monty Hall) não sabe onde o carro está atrás das outras duas portas, então a resposta para a pergunta é "NÃO É IMPORTANTE TROCAR A PORTA". A mudança na afirmação do problema é tão leve que isso pode ser o motivo pelo qual esse problema é um "paradoxo".

O que a Análise Estatística falaria para nós?

Olhando para os números de experiências on-line, parece que aqueles que trocaram portas ganharam cerca de 2/3 das vezes e aqueles que não trocaram, ganharam cerca de 1/3. Por que existe uma grande diferença? Quero dizer, uma vez que Monty mostra o que está atrás de uma das portas, há apenas duas portas à esquerda. Certo? Certo. E o carro está atrás de uma dessas duas portas com a mesma probabilidade. Certo? ERRADO!

Vamos trazê-lo ao básico, probabilidade experimental. Você usou esses princípios para resolver outros problemas que passamos em nossa Certificação Green Belt. Examinaremos todos os cenários possíveis.

1. Você escolhe a primeira porta e a segunda porta tem o carro (a segunda porta sempre terá o carro para nós). Monty revela que a terceira porta tem lixo. Como dissemos que é melhor mudar, mudamos para a porta dois e pegamos o carro.


2. Você escolhe a segunda porta, e Monty revela que a terceira tem lixo. Como entusiasta de matemática, você sabe que é melhor trocar, então você se move para a porta um e vê uma grande pilha de lixo. Liso, sujo.


3. Você vai para a terceira porta e Monty revela a primeiro. Você então muda para a segunda porta e dirige para casa em um carro novo.

Havia três possibilidades diferentes, e duas conseguiram o carro. Isso me deixou satisfeito. Se você tiver outras razões para as pessoas que não estão convencidas, publique-as! Não é legal ?!

Como esse problema muda se Monty Hall não sabe onde o carro está localizado? Devemos decidir o que significa se Monty deveria abrir a porta com o carro por acidente. O problema diz apenas que Monty abriu uma porta com uma cabra por trás, então interpretamos isso para significar que, se o carro for revelado, o jogo acabou e o próximo competidor joga o jogo.

Por que a Análise Estatística não prevê o resultado com mais assertividade?

Ok, isso não seria abordado neste artigo, mas como você pode estar se perguntando e, uma vez que não demora muito para explicar ... Comecemos por olhar para um exemplo diferente: lançando uma moeda.

Se você fosse virar uma moeda 100 vezes, você esperaria obter 50 caras. Você pensaria duas vezes se depois de virar 100 vezes tivesse saído 53 caras? Como cerca de 47 coroas? Provavelmente não. Bem, esta é a ideia básica por trás de um intervalo de confiança, para encontrar uma gama de valores aceitáveis para o seu resultado, em vez de um único valor esperado.

E agora, o problema das cabras acabou em 1990?

Este problema continua a desconcertar todos os que encontra, de pessoas comuns a matemáticos. Em 2010, Walter Herbranson e Julia Schroeder do Whitman College realizaram um experimento para ver se o jogo múltiplo pode acabar por refinar a estratégia do jogador. Os sujeitos de teste humanos não conseguiram reverter para a estratégia ideal e mudar as portas no experimento. No entanto, quando o teste foi realizado em pombos, com grãos mistos como prêmio, eles conseguiram entender o fato de que era bom bater numa porta diferente depois que a primeira abrisse. Isso lhes dava a melhor chance de sucesso. O fato de um pombo pode fazer melhor do que um humano nessa situação é fascinante para mim.

O Paradoxo de Monty Hall é algo que nos lembra de como os humanos não estão conectados para entender a probabilidade e a análise estatística. É por isso que as pessoas podem ser enganadas por golpes matemáticos e por que os casinos estão repletos de jogadores. Se nossos currículos de matemática colocam um foco igual em probabilidades e estatísticas, como faz na álgebra e cálculo, então nosso mundo teria mentes matemáticas e pensadores críticos, em geral, muito melhores.